ОДИН + ОДИН = МНОГО

Начнем рассуждать с буквы-цифры О.
Так как Н+Н=О и складываются крайние правые цифры в столбике (единицы), значит О — должно быть четным числом или нулем. То есть 0, 2, 4, 6 или 8.
Ноль не подходит, потому что ОДИН начинается с О, а мы не используем ноль в начале числа.
2 не подходит потому, что О+О=Н. Если О=2, то Н=4, но Н+Н=О, а 4+4=8, а не 2. По этой же логике нам не подходит 4 и 8 [не верьте мне на слово и распишите].
Остаётся О=6. Тогда Н=3. 3+3=6.
Получилось так:
     6 Д И 3
  + 6 Д И 3
  М 3 6 Г 6
Получается, что Д + Д = 6. Но Д не может быть тройкой, так как она занята. Следовательно Д = 8, так как 8 + 8 = 16.     
И это подтверждается тем, что  вообще-то 6+6=12. А у нас под 6 + 6 находится тройка.  Переносим единичку с 16 и получаем 12+1=13. Отсюда следует, что М=1.

Остаётся угадать И и Г. Это несложно. У нас остались неиспользованными числа 0, 2, 4, 5, 7, 9. Г должно быть четным. Двойка не подходит, так как тогда И = 1, а этого быть не может, потому что мы уже определили, что единичкой является буква М.
Следовательно Г=4, а И=2.

Итого получаем О=6, Д=8, И=2, Н=3, М=1, Г=4. То есть 6823+6823=13646. Всё сходится.